El Cálculo Diferencial,

Es una parte importante del análisis matemático y dentro del mismo del cálculo infinitesimal. Consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones o campos objetos del análisis. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de Diferencial de una función.

En el estudio del cambio de una función cuando cambian sus variables independientes es de especial interés para el cálculo diferencial el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). Y es que el cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite. El paso al límite es la principal herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferencia claramente del álgebra.

Introducción.

Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de f(x) en cada punto x. Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en sus puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de una función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.

Antecedentes

La palabra cálculo proviene del latín calculus, que significa contar con piedras. Precisamente desde que el hombre ve la necesidad de contar, comienza la historia del calculo, o de las matemáticas.

Las matemáticas son una de las ciencias más antiguas, y más útiles. El concepto de matemáticas, se comenzó a formar, desde que el hombre vio la necesidad de contar objetos, esta necesidad lo llevó a la creación de sistemas de numeración que inicialmente se componían con la utilización de los dedos, piernas, o piedras. De nuevo, por la necesidad, se hizo forzosa la implementación de sistemas más avanzados y que pudieran resolver la mayoría de los problemas que se presentaban con continuidad.

CIVILIZACIONES ANTIGUAS

En este momento de la historia, la Civilización Egipcia, llevaba la pauta con el avance en sus conocimientos matemáticos. Según varios papiros escritos en esa época, los egipcios inventaron el primer sistema de numeración, basado en la implementación de jeroglíficos. El sistema de numeración egipcio, se basaba en sustituir los números clave (1, 10, 100...), con figuras (palos, lazos, figuras humanas...), los demás números eran escritos por la superposición de estas mismas figuras, pero en clave. Este sistema es la pauta para lo que hoy conocemos como el sistema romano.

Otras civilizaciones importantes en la historia, como la babilónica, crearon otros sistemas de numeración. En la Antigua Babilonia, la solución al problema de contar los objetos, se vio resuelto con la implementación de un método sexagesimal. Este método tenia la particularidad de escribir un mismo signo como la representación de varios números diferenciados por el enunciado del problema.

Civilizaciones como la China Antigua, y la India Antigua, utilizaron un sistema decimal jeroglífico, con la cualidad de que estas implementaron el número cero.

Los avances obtenidos desde que cada cultura implemento su sistema numérico, aún son utilizados actualmente. El avance algebraico de los egipcios, dio como resultado la resolución a ecuaciones de tipo . La correcta implementación de la regla aritmética de cálculo, por parte de los Indios, aumento el conocimiento matemático, y la creación de los números irracionales, a demás que ayudó a la resolución de sistemas de ecuaciones de la forma .

En la Antigua Mesopotamia, se introduce el concepto de número inverso, a demás de las soluciones a distintos problemas logarítmicos, e incluso lograron la solución a sistemas de ecuaciones de la forma Su avance fue tal que crearon algoritmos para el calculo de sumas de progresiones. Y en geometría, se cree que conocían el teorema de Pitágoras, aunque no como un teorema general.

China sin duda tubo que ver en gran medida en el avance matemático. Su aporte principal se basaba en la creación del "método del elemento celeste", desarrollado por Chou Shi Hié, con el cual era posible la resolución de raíces enteras y racionales, e incluso aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma Pn(x)=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+ao.

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RENACIMIENTO Y MATEMÁTICAS MODERNAS

La siguiente época importante en la historia de las matemáticas esta comprendida en la época del renacimiento. En este momento de la historia es cuando aparece el cercano oriente como conocedor de las matemáticas. Aunque la historia de las matemáticas en el cercano oriente, no es tan antigua como en el lejano oriente, su aporte es de gran magnitud, especialmente con la aparición de gran cantidad de obras escritas por los grandes matemáticos de la época.

Es de destacar la obra de Leonardo de Pissa, titulada Liber Abaci, en donde se explicaba de una forma clara el uso del ábaco y el sistema de numeración posicional. I

Uno de los grandes aportes de esta cultura se obtuvo en la introducción de los exponentes fraccionarios y el concepto de números radicales, a demás se estableció un sistema único de números algebraicos, con lo que se izo posible expresar ecuaciones en forma general.

Avances en la resolución de ecuaciones y en lo que hoy se conoce como calculo, hicieron de esta época la de mayor riqueza para esta ciencia.

Entre los grandes desarrollos de esta época se puede mencionar, la resolución de ecuaciones algebraicas radicales, el desarrollo del concepto de grupo, avances en los fundamentos de la geometría hiperbólica no euclidiana, a demás de la realización una muy profunda reconstrucción sobre la base de la creada teoría de límites y la teoría del número real.

En el ámbito de la teoria de los conjuntos, se compuso una serie de teorías altamente desarrolladas: los grupos finitos, los grupos discretos infinitos, los grupos continuos, entre ellos los grupos de Lie

El concepto de Calculo y sus ramificaciones se introdujo en el siglo XVIII, con el gran desarrollo que obtuvo el análisis matemático, creando ramas como el calculo diferencial, integral y de variaciones.

El cálculo diferencial fue desarrollado por los trabajos de Fermat, Barrow, Wallis y Newton entre otros. Así en 1711 Newton introdujo la fórmula de interpolación de diferencias finitas de una función f(x); fórmula extendida por Taylor al caso de infinitos términos bajo ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el cálculo diferencial y el cálculo en diferencias finitas. El aparato fundamental del cálculo diferencial era el desarrollo de funciones en series de potencias, especialmente a partir del teorema de Taylor, desarrollándose casi todas las funciones conocidas por los matemáticos de la época. Pero pronto surgió el problema de la convergencia de la serie, que se resolvió en parte con la introducción de términos residuales, así como con la transformación de series en otras que fuesen convergentes. Junto a las series de potencias se incluyeron nuevos tipos de desarrollos de funciones, como son los desarrollos en series asintóticas introducidos por Stirling y Euler. La acumulación de resultados del cálculo diferencial transcurrió rápidamente, acumulando casi todos los resultados que caracterizan su estructura actual

Introducir el calculo integral, se logro con el estudio de J.Bernoulli, quien escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742. Sin embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de tal forma que los métodos de integración indefinida alcanzaron prácticamente su nivel actual. El cálculo de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo, conllevó el descubrimiento de una serie de resultados de la teoría de las funciones especiales. Como las funciones gamma y beta, el logaritmo integral o las funciones elípticas.

Este es el desarrollo las matemáticas han obtenido desde que el hombre vió la necesidad de contar, hasta nuestros días. Actualmente gran cantidad de matemáticos siguen en el desarrollo de las matemáticas denominadas matemáticas modernas, de donde sus conceptos son la base de la mayor parte de las ciencias actuales.

PRINCIPALES EXPONENTES DEL CÁLCULO

 Johannes Kepler (1571-1630). Nació en Leonberg, Sacro Imperio

Romano, hoy Alemania. En su trabajo sobre el movimiento planetario, tuvo

que encontrar el área de sectores de una elipse; para ello su método consistió

en determinar las áreas como sumas de líneas. En cambio, en su trabajo

Nueva Geometría Sólida de los Barriles de Vino calculó en forma exacta o

aproximada el volumen de más de 90 sólidos de revolución, considerando el

sólido compuesto de infinitos cuerpos infinitesimales de volúmenes

conocidos.

 Bonaventura Cavalieri (1598-1647). Publicó su “Geometria Indivisibilis

Continuorum Nova” en 1635 donde expone el principio que lleva ese nombre. Su

método consiste en comparar proporcionalmente los indivisibles de volúmenes o

áreas de cuerpos o figuras por encontrar, con los respectivos indivisibles de figuras

o cuerpos cuyas áreas o volúmenes se conocen. Se puede referir este

procedimiento en forma general como un método de “Suma de potencias de líneas”,

que aunque alejado del rigor, condujo a Cavalieri a un resultado correcto para

å

B

A

k x con k=1,2,3,4,5,6,7,8,9.

 Pierre de Fermat (1601-1665). Trata de encontrar pruebas más o menos

rigurosas de la conjetura de Cavalieri. En su trabajo sobre curvas polinomiales

y = f (x) , compara el valor de f(x) en un punto x, con el valor f (x + E) , con E

APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS VOL.1, NO.1, ENERO 2002

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como un intervalo cada vez más pequeño alrededor de x, de tal manera que

encuentra el valor de

E

f (x + E) - f (x)

antes de que E=0 .

PERSONAJES Y CONTRIBUCIONES EN EL SIGLO XVII

 Gilles Persone de Roberval (1602- 1675). Cálculo de tangentes como vectores

de “velocidad instantánea”. Cicloide: su área es 3 veces la del círculo que la genera.

 John Wallis (1616-1703). Escribió su Arithmetica Infinitorum en 1655. Abordó

sistemáticamente, por primera vez, la cuadratura de las curvas de la forma y=x k

donde k no es necesariamente un entero positivo. Su trabajo en la determinación de

los límites implicados fue empírico. Tuvo una influencia decisiva en los primeros

desarrollos del trabajo matemático de Newton.

 Isaac Barrow tangentes y áreas, en un sentido

estrictamente geométrico, no como un algoritmo de cómputo.

(1630-1677). Maestro de Newton. Competente en árabe y griego,

mejoró traducciones de textos griegos. Punto de vista conservador en matemáticas.

Sus “Lectiones Geométriae”, publicadas en 1670, incluyen los procedimientos

infinitesimales conocidos por él. La mayoría de los problemas presentados tratan

tangentes y cuadraturas desde un punto de vista clásico (geométrico en lugar de

analítico). Incluye su método del “triángulo característico” en el que implícitamente se

toma a la recta tangente como la posición límite de la secante.

En su obra aparece localizado el Teorema Fundamental del Cálculo en el sentido de

presentar el carácter inverso.

NACE EL CÁLCULO

Isaac Newton (1642-1727).

Sus años más fecundos fueron durante el periodo 1665-1666 cuando cerraron la Universidad de Cambridge, donde era estudiante, debido
a la peste bubónica. Newton se recluyó en su casa natal y allí descubrió el Teorema del binomio, el cálculo diferencial e integral, la ley de gravitación universal y la Teoría de los colores. Prácticamente todos los descubrimientos importantes de su vida.
Newton tardó mucho en publicar sus trabajos ya que no le gustaban las controversias y quería evitar la crítica de sus contemporáneos. En
los últimos años de su vida fue miembro del parlamento británico y presidente de la Royal Society y considerado como un tesoro nacional.

Tal como hemos indicado, Newton concibió su cálculo durante los años 1665-1666. Después lo describió en numerosas cartas personales
y en un pequeño tratado no publicado, De Analysi (1669) que circuló entre los matemáticos ingleses de la época y que fue en parte incluído
en el tratado De Algebra de John Wallis en 1669. Luego organizó y describió todos sus trabajos anteriores sobre el cálculo en De Methodis Serierum et Fluxionumque escribió en 1671, pero que no fue publicado hasta después de su muerte en 1736. La principal obra de Newton
es Philosophiae Naturalis Principia Mathematica que fue publicada en 1687 y donde expone muchísimas propiedades sobre las secciones
cónicas y su famosa ley de gravitación universal. En este último no muestra realmente su cálculo, ya que los argumentos de Principia son principalmente de geometría sintética.

El último tratado que escribió, pero el primero que se publicó, fue De Quadratura Curvarum. Escrito entre los años 1691-1693 apareció
como un apéndice de su Opticks de 1704. Cabe señalar también las dos cartas, donde expone su teorema del binomio, la epistola prior de Junio de 1676 y la epistola posteriorde Octubre de 1676, que mandó al secretario de la Royal Society of London, Henry Oldenburg, para que éste se las transmitiera a Leibniz.

GEORGE BOOLE.

Durante el siglo XIX y XX el desarrollo científico y la creación de modelos teóricos fundados en sistemas de cálculo aplicables tanto en mecánica como en electromagnetismo y radioactividad, etc. así como en astronomía fue impresionante. Las geometrías no euclidianas encuentran aplicación en modelos teóricos de astronomía y física. El mundo deja de ser un conjunto de infinitas partículas que se mueven en un espacio-tiempo absoluto y se convierte en un espacio de configuración o espacio de fases de n dimensiones que físicamente se hacen consistentes en la teoría de la relatividad, la mecánica cuántica, la teoría de cuerdas etc. que cambia por completo la imagen del mundo físico.

La lógica asimismo sufrió una transformación radical.^[] La formalización simbólica fue capaz de integrar las leyes lógicas en un cálculo matemático, hasta el punto que la distinción entre razonamiento lógico-formal y cálculo matemático viene a considerarse como meramente utilitaria.

formalización de todo el sistema matemático, Frege, y de matematización de la lógica, (Bolzano, Boole, Whitehead, Russell) fue posible la generalización del concepto como cálculo lógico. Se lograron métodos muy potentes de cálculo, sobre todo a partir de la posibilidad de tratar como “objeto” conjuntos de infinitos elementos, dando lugar a los números transfinitos de Cantor.

Los intentos de axiomatizar el cálculo como cálculo perfecto por parte de Hilbert y Poincaré, llevaron, como consecuencia de diversas paradojas (Cantor, Russell etc.) a nuevos intentos de axiomatización, Axiomas de Zermelo-Fraenkel y a la demostración de Gödel de la imposibilidad de un sistema de cálculo perfecto: consistente, decididle y completo en 1931, de grandes implicaciones lógicas, matemáticas y científicas.

EL CÁLCULO EN LA ACTUALIDAD

En la actualidad, el cálculo en su sentido más general, en tanto que cálculo lógico interpretado matemáticamente como sistema binario, y físicamente hecho material mediante la lógica de circuitos eléctrónicos, ha adquirido una dimensión y desarrollo impresionante por la potencia de cálculo conseguida por los ordenadores, propiamente máquinas computadoras. La capacidad y velocidad de cálculo de estas máquinas hace lo que humanamente sería imposible: millones de operaciones por segundo.

El Teorema del Binomio.

La serie del binomio fue descubierta por Newton el invierno de 1664. Aparece expuesta en dos cartas, la Epístola prior de Junio de 1676 y la Epístola posterior de Octubre de 1676, que mandó al secretario de la Royal Society of London, Henry Oldenburg, para que se las transmitiera a Leibniz. Dice Newton:

"La extracción de raíces cuadradas se simplifica con este teorema”

FUNCIONES DEMANDA E INGRESO.

Función demanda.

Función ingreso total.

El ingreso de una organización es el dinero que se obtiene por la venta de sus productos o por la prestación de sus servicios.

El ingreso total R es una relación cuyo dominio es un subintervalo D de R+;que representa la cantidad vendida y cuyo codominio es R+; es decir,

R : D ½ R+ ! R+

x ! R(x)

Para cualquier función demanda p(x), el ingreso total será el producto de x por p(x); esto es: R(x) = xp(x); donde el precio de venta varía según el número de unidades vendidas.

Propiedades de las funciones ingreso:

1.- La función ingreso total depende de la función demanda que depende del número de unidades vendidas, es decir, el ingreso depende del precio al que se venda las unidades.

2.- Si tenemos una función demanda que sea un polinomio de grado n, la función ingreso total es siempre de grado n+ 1.

3.- Cuando la cantidad demandada x aumenta, el ingreso total es creciente hasta un punto x¤; de la demanda, a partir del cual decrece.

Considérese una función demanda dada por la siguiente relación x(p) = b¡ ap donde p 2 (0; b=a); b representa la demanda total y a es una constante que nos indica cómo cambia la demanda al incrementarse en una unidad el precio, con lo que tenemos los siguientes 13

EJEMPLOS

1.- Una empresa cuenta con 5,000 artículos disponibles para su venta y calcula que por unidad de cambio en el precio, la demanda varía en 10 unidades, determinar la función demanda que represente el caso anterior.

Solución:

Como la cantidad máxima que se puede vender es 5,000 y como a cada unidad de incremento en el precio la demanda disminuye en 10 unidades, la demanda queda representada por la función

x(p) = 5;000¡ 10p donde p 2 (0;500) ½ R+:

2.- Determinar la función inversa del ejemplo anterior y determinar la función ingreso total.

Solución:

La función inversa es,p(x) = 500¡x10 donde x 2 (0;5000) ½ R+ x representa la cantidad de artículos vendidos y p(x) representa el precio del artículo si se vende x unidades.

La función ingreso total es, R(x) = 500x¡ x2 10 ; donde x 2 (0;5000) ½ R+ que representa el ingreso obtenido con la venta de x unidades.

3.- El precio de un seguro de vida varía de acuerdo a la siguiente función de demanda, p(x) = 3;000 ¡ 20x, donde x 2 R+ y representa la cantidad de seguros vendidos, determinar la función ingreso total.

CONCLUSIONES

La historia del cálculo, comienza desde que comenzó la historia del hombre, cuando este vio la necesidad de contar

Han sido muchos los grandes matemáticos que han influido en el desarrollo que actualmente posee el calculo, igualmente que han sido muchas las culturas que han influido en sus avances

Las matemáticas, actualmente son la base de todas las ciencias que maneja el hombre, debido a que su campo de acción cubre la totalidad de los conocimientos científicos.